Оператор Лапласа

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом [math]\displaystyle{ \ \Delta }[/math]. Функции [math]\displaystyle{ F\ }[/math] он ставит в соответствие функцию

[math]\displaystyle{ \Delta F={\partial^2 F \over \partial x_1^2} + {\partial^2 F \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 F \over \partial x_n^2} }[/math]

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: [math]\displaystyle{ \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad} }[/math], таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля [math]\displaystyle{ \ \operatorname{grad}F }[/math] в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом [math]\displaystyle{ \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2 }[/math], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Оператор Лапласа для вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{A} = A_{x}\mathbf {i} + A_{y}\mathbf {j} + A_{z}\mathbf {k} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{A} = {\Delta }A_{x}\mathbf {i} + {\Delta }A_{y}\mathbf {j} + {\Delta }A_{z}\mathbf {k} = \biggl(\frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf i+ \biggl(\frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf j+ \biggl(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf k }[/math]

Лапласиан вектора - тоже вектор.

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция [math]\displaystyle{ \ f (x) }[/math] имеет в окрестности точки [math]\displaystyle{ \ x_0 }[/math] непрерывную вторую производную [math]\displaystyle{ \ f''(x) }[/math], то, как это следует из формулы Тейлора

[math]\displaystyle{ \ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2), }[/math] при [math]\displaystyle{ r\to 0, }[/math],

[math]\displaystyle{ \ f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2), }[/math] при [math]\displaystyle{ r\to 0, }[/math]

вторая производная есть предел

[math]\displaystyle{ \ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}. }[/math]

Если, переходя к функции [math]\displaystyle{ \ F }[/math] от [math]\displaystyle{ \ k }[/math] переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки [math]\displaystyle{ M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0) }[/math] рассматривать её [math]\displaystyle{ \ k }[/math] -мерную шаровую окрестность [math]\displaystyle{ \ Q_r }[/math] радиуса [math]\displaystyle{ \ r }[/math] и разность между средним арифметическим

[math]\displaystyle{ \ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma }[/math]

функции [math]\displaystyle{ \ F }[/math] на границе [math]\displaystyle{ \ S_r }[/math] такой окрестности с площадью границы [math]\displaystyle{ \ \sigma(S_r) }[/math] и значением [math]\displaystyle{ \ F(M_0) }[/math] в центре этой окрестности [math]\displaystyle{ \ M_0 }[/math], то в случае непрерывности вторых частных производных функции [math]\displaystyle{ \ F }[/math] в окрестности точки [math]\displaystyle{ \ M_0 }[/math] значение лапласиана [math]\displaystyle{ \ \Delta F }[/math] в этой точке есть предел

[math]\displaystyle{ \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}. }[/math]

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции [math]\displaystyle{ \ F }[/math], имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

[math]\displaystyle{ \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \ \omega(Q_r) }[/math] — объём окрестности [math]\displaystyle{ \ Q_r. }[/math]

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в.

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции [math]\displaystyle{ \ F. }[/math] Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве [math]\displaystyle{ q_1,\ q_2,\ q_3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right], }[/math]

где [math]\displaystyle{ H_i\ }[/math] — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой [math]\displaystyle{ \ r=0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} }[/math]

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

[math]\displaystyle{ \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}. }[/math]

В случае если [math]\displaystyle{ \ f=f(r) }[/math] в n-мерном пространстве:

[math]\displaystyle{ \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}. }[/math]

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

[math]\displaystyle{ \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} }[/math]

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

[math]\displaystyle{ \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}. }[/math]

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии [math]\displaystyle{ X }[/math] задана локальная система координат и [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] — риманов метрический тензор на [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть метрика имеет вид

[math]\displaystyle{ ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j }[/math] .

Обозначим через [math]\displaystyle{ g^{ij} }[/math] элементы матрицы [math]\displaystyle{ (g_{ij})^{-1} }[/math] и

[math]\displaystyle{ g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1} }[/math].

Дивергенция векторного поля [math]\displaystyle{ F }[/math], заданного координатами [math]\displaystyle{ F^i }[/math] (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка [math]\displaystyle{ \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i} }[/math]) на многообразии X вычисляется по формуле

[math]\displaystyle{ \operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i) }[/math],

а компоненты градиента функции f — по формуле

[math]\displaystyle{ (\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}. }[/math]

Оператор Лапласа — Бельтрами на [math]\displaystyle{ X }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big). }[/math]

Значение [math]\displaystyle{ \Delta f }[/math] является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации

• Оператор Д’Аламбера — обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений. Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа — обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

• Оператор набла
• Оператор Д’Аламбера
• Уравнение Лапласа
• Гармоническая функция
• Матрица Кирхгофа
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.

Ссылки

• MathWorld description of Laplacian Архивная копия от 17 июня 2020 на Wayback Machine